カテゴリー「GeoGebra」の13件の記事

2018年12月 9日 (日)

黄金比と正二十面体

 

Ou_3

001_

上図の長方形を3枚使うだけで、正二十面体を作成できるらしい、ということで作ってみた。
 
011_
 
   ⇣
  
012_

 
こんなに手軽に作成できるとは驚き。
 
原理的な話は
【Weblog on mebius.tokaichiba.jp】さんの
正20面体の頂点座標の求め方
が詳しい。
 
非常に納得できる。
 
 
 
〔関連ページ〕
 ・GeoGebra で正多面体作成(その2) 
 
 
 
 
【外部サイト】
 ・黄金比  ― 塩田研一覚書帳 ― 
 ・正二十面体の対角線・体積を座標でエレガントに導出  
 ・黄金比と正20面体 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2018年12月 8日 (土)

GeoGebra で正多面体作成(その2)

GeoGebra5 で正多面体作成(その1)』の兄弟記事です。
今回は表計算での座標指定ではなく、コマンドによる正多面体の作成メモです。
 
  
【正四面体】
 
002_04_d_2  

Tetrahedron(  点1, 点2 )  
【点1と点2は、正多面体の一辺を構成する2点で、定義済みとする】

と入力。

点の打ち方など、基本的な操作がわからない方は
GeoGebra5:三次元空間に点を打つ/点を移動させる
をどうぞ。

 
 
 
 
【正六面体】 
 
001_06_d_
 

Cube(  点1, 点2 )

と入力。
 
 
 
 
 
【正八面体】 
 
003_08_d_
 

Octahedron(  点1, 点2 )

と入力。
 
 
 
 
 
【正十二面体】 
 
004_12_d_
 

Dodecahedron(  点1, 点2 )

と入力。
 
 
 
 
 
【正二十面体】 
 
005_20_d_
 

Icosahedron(  点1, 点2 )

と入力。
 
 
 
かなりお手軽に正多面体が作成できます。(終)
 
 
 
 
012_d_2  016_d
 
015_d  021__2
 
 
 
 
〔関連ページ〕
 ・黄金比と正二十面体 
  011__2
 ・GeoGebra5 で正多面体作成(その1:座標入力による作成) 
 ・GeoGebraで三次元空間内での正多角形 
 
 
 
 
【外部サイト】
 ・GeoGebra:3D Commands 
 ・正多面体の計量と真球率(佐々木 正敏 氏)
  (https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/82/82-3.pdf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

   
 
 
 
 

2018年12月 1日 (土)

GeoGebraで三次元空間内での正多角形

 今回は三次元空間での正多角形作成について。

001_

 (上図:正五角形と二等辺三角形)
 
2Dグラフィックスにおける正多角形の作成は容易にできますが、3Dグラフィックスにおいてはコマンドを使用する必要があります。

ということで、まずは基本編。
2Dグラフィックスの場合から。
 

 

【2Dグラフィックス】
 〔1:アイコンからの作成の場合〕 

 以下、正五角形を作成をしてみます。
011_d  
  ↓
012_d

正多角形の一辺となる2点を指定すると、ダイアログが出るので、そこで「5」と入力すると…

 

013_d

正五角形が完成です。

 
 

ちなみに、点を右から左方向に指定した場合…
014_d

正五角形は下図のように、下側にできます。
015_d_2

2点を指定した後は、点を打った順に反時計回りに点が打たれ、正多角形が作成されます。
ちなみに、角度関係も含め、Geogebraでは基本的に反時計回り系が多いです。
 
006_2d2

まぁ、単位円の回転方向の向きと同じです。

 
 

〔2:コマンドからの作成の場合〕 

016_d

まずは、正多角形の1辺の基礎となる2点を作成しておく。 

 

ウィンドウ下にある「入力」欄に『Polygon(A, B, 5)』とすれば、以下のように正五角形が作成される。(終)

019_d

 
 

ちなみに、正多角形を一度作成すると、プロパティから確認することができ、ここから修正とかも可能だったりします。

020_d

 
 
 

【3Dグラフィックス】
 三次元空間内にて、正多角形を作成する際、必要なものは2つです。

① 正多角形を作成したい平面(または、平行な平面) 
② 正多角形の一辺となる2点 

 

書式は『Polygon(点1,点2,頂点数,向き(平行な平面))』となります。

033_d
(上図:EFを一辺とした、q1平面(長方形)に平行な正五角形。)

 

034_d  
(上図:EFを一辺とした、「x=4」の平面に平行な正五角形。)

 

035_d
(上図:EFを一辺とした、「y=x+3」の平面に平行な正五角形。)

 

041_d
(上図:ABを一辺とした、「2x - y - z = 12」の平面に平行な正五角形。)
 
 
 
 
 
 
注1
「正多角形の一辺となる2点」と「指定する平面」が平行でない正多角形が作成されません

 

注2
3次元空間上で正多角形を作成する場合、「正多角形の一辺となる2点」の両方が、( x , y ) 座標で設定されている場合、正多角形が作成されません

053_d
(失敗例)

 

少なくとも片方( x , y ,z) 座標であれば作成されます。

052_d
(成功例)

これはどうも仕様(?)のようです。
この座標関係で失敗した場合は、少なくとも片方の点の座標を(x,y,z)に修正すれば、上図のように正多角形が作成されるかと思います。
(終)

 
 
 
 

〔関連ページ〕
 ・動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい! 
 ・GeoGebra5:三次元空間に点を打つ/点を移動させる 
 ・GeoGebra5 で回転体を作る!  

 
 
 
 
 

【外部サイト】
 ・空間における平面の方程式 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2018年11月11日 (日)

GeoGebraで動点を作る!その2〜軌道を途中で変える場合

Geogebra で動点の軌道を途中で変更したい場合について。

012_

if関数を使えば、可能です。
※ 動点を扱う際のスライダーの基本的な使い方、軌跡の残し方等がわからない場合は、
GeoGebraで動点を作る!
を先に読んでおいてください。

上図の例の場合、

 ◯ スライダー
  「スライダー t 」・・・0以上、14以下
 ◯ 動点
  「点P」・・・「if( t<=4 ,(0, t), t<=10 ,(t-4,4) , t<=16 ,(6,14-t))」

としています。
 
011_2
 

書式としては、

if(条件1 , (条件1を満たした場合のx座標 , y座標) , 条件2 , (条件2を満たした場合のx座標 , y座標) , ・・・条件n , (条件nを満たした場合のx座標 , y座標))

となります。

優先順位が一番高いのは、はじめに書かれた条件1で、条件1を満たさない場合は、次の条件2が満たされるか判定し、満たされる場合は条件2の座標を、満たされなければ条件3を順次みていく流れになります。

ちなみに最後の「条件n」の部分は省略可です。

また、変域が重なるように設定してしまった場合、優先順位の高い方が採用され、他は無視されます。

※例えば、
 If(0 ≤ t ≤ 4, (x1, y1), 8 ≤ t ≤ 12, (x2, y2), 4 ≤ t ≤ 9, (x3, y3) , (x4, y4))
 
とした場合、
 t=9のときは、(x3, y3)ではなく、(x2, y2)となります。
 
また、
 t= -1のときは、無条件で(x4, y4)となります。

(終)

 

021_

022_

(※ 三次元の場合は、(x,y,z)で座標指定を行う)

 

〔関連ページ〕
 ・動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい! 
 ・GeoGebraで動点を作る! 
 ・GeoGebra5 で回転体を作る! 

 
 
 

【外部サイト】
 ・Geogebra:If Command 
 ・Geogebra:Classic App Tutorials 
 

 
 
 
 
 
 
 

2018年5月27日 (日)

GeoGebra のダウンロード先 2018年版

GeoGebraの公式サイトが大改編され、ダウンロード先がどこに行ったかわからなくなったのでメモ。悩んだ人は参考にしてください。

まずは、GeoGebra公式「https://www.geogebra.org/」へアクセス。

201_r

公式サイトが日本語化されたようです。
公式を読めばだいたいわかるかも。
(2018.9)

上図の左の方にある「App Downloads」をクリック。

すると、以下の画面に移ります。

005_r

「Graphing Calculator」とか「Geometry」とかいろいろありますが、「GeoGebra Classic 6」か「GeoGebra Classic 5」のどちらかの方が良いです。どちらかの「DOWNLOAD」をクリック。

ちなみに、Classic 6 と Classic 5 は以下な感じ。

002
(GeoGebra Classic 6 .0468)

001
(GeoGebra Classic 5 .0470)

何が違うかというと、メニュー周りがまず大きく違います。
5は昔ながらのPCメニュー、6は今風のスマホ志向な感じです。
どちらを選ぶかはお好みで。

先の「ダウンロード」をクリックすると、以下の画面に移るので、必要なものをダウンロードしてください。. 

202_
(GeoGebra Classic 6) 

203_
(GeoGebra Classic 5)

 
 
 
 

【おまけ】
 GeoGebraはブラウザ上でも使用することが可能です。

201_
 
 上図の真ん中あたりにある「GeoGebra Classic」をクリックすると・・・
 

006_2  
 
ブラウザ上で使用可能です。
ネットに繋がっていれば、とりあえずは使用可能かと。

 
 
 
 

〔関連ページ〕
 ・Linuxでポータブル版GeoGebra5を使う 
 ・GeoGebra5 で回転体を作る! 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2017年9月 9日 (土)

GeoGebra6 が出てた・・・

GeoGebra6 がいつの間にかリリースされてたので、インストールしてみた。

Geo6
 (GeoGebra Classic 6 versions Linux Portable)

う〜ん、ちょっと微妙な感じ。
数式ビューの表示なんかは認識しづらい。

動作は速さくなっているような気がするけど、前バージョンに比べると直感的に操作できないような気がする。

とりあえず、もうちょっといじってみようかと思います。
 
 
 
ちなみに、旧バージョンをダウンロードしたい場合は、
 https://wiki.geogebra.org/en/Reference%3AGeoGebra_Installation
から可能です。
 
 Geo_d2
 
 Geo5_2
 (GeoGebra Classic 5 for Desktop Linux Portable  
 
  
 
【関連ページ】
 ・動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい!
  
 
 
 
 
 
 
 

2014年11月 7日 (金)

GeoGebra:図形作成時に辺や面の名前(ラベル)が自動で表示されないようにするには

001_r

多角形や立体の作成時に、辺や面の名前(ラベル)が自動で表示されますが、このラベルが不要という方もいると思います。
 
このラベルを非表示にすること自体は右クリックから簡単にできるのですが、1つずつやるのは面倒ですよね。

002_r
(「ラベルの表示」のチェックを外せば非表示になるが・・・)

こういった場合、「全選択」してから「ラベルの表示」のチェックを外せば、まとめて非表示にすることもできますが、「図形を作成する段階」から非表示にすることも可能です。
 
「メニュー > オプション > ラベル付け > 新規オブジェクトには付けない」を選択すると、自動で名前(ラベル)が入らなくなります。

003_r

 

ちなみに再起動すると設定がリセットされるので、再起動後も設定を維持したい場合は、上図の「設定を保存」を選択すると、設定が引き継がれます。

参考までに。

 
 

〔関連ページ〕
 ・GeoGebra5 で回転体を作る!
 ・Linuxでポータブル版GeoGebra5を使う
 ・動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい!

 
 

 
 
 

2014年11月 4日 (火)

動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい!

4ではなく、5です。
GeoGebra4も大変素晴らしいんですが、GeoGebra5はさらに素晴らしい。
 
空間図形を扱えるようになっただけでなく、以下のような機能もあって、かなり驚きました。
  
 004_3
 (wheezy KDE:Geogebra5 - 立方体展開図の開閉の図)
 
難しいプログラミングなど全く必要なく、スライダーを動かすことによって動的に展開図を開いたり、閉じたりもが可能だったりします。まぁ、複雑な立体の展開図は出来るかはわかりませんが、基本的な柱体、錐体ならば手軽にできます。
 
 006
 (六角錐展開図の開閉の図)

もちろん、各立体を様々な角度から見ることも可能です。
 
 010
 
ということで、改めて GeoGebra のご紹介。
 
 
 
〔GeoGebraって何?〕
 動的数学ソフトウェアや、動的幾何学ソフトウエアなんて呼ばれてます。
 手軽に図形を動的に扱えます。
 
  012_r
  

〔GeoGebraは自分のPCで使える?〕
GeoGebraはクロスプラットフォームなソフトウェアです。
Windowsはもちろんのこと、MacやLinux、さらにはAndroidなどのタブレットでも動きます。ただし、タブレット系は操作体系が少し違うので、基本に慣れるまではPCでやった方が良いです。式の入力などはキーボードがあった方が良いですし、マウスが使えると空間図形の視点の変更などの操作が楽です。
 
 
〔GeoGebraの導入に費用はかかる?〕
GPLの元で開発されているため、費用は全くかかりません。
何台のPC、タブレットに入れてもokです。
費用を考える必要が無いのは大きなメリットです。
 
海外ではかなり注目されているようですが、日本での認知度はまだまだな感じです。
教育機関での利用はもちろんのこと、幼児の知育教育にも使えそう。
 
 
〔どこで入手するの?〕
GeoGebra本家から入手できます。
  http://www.geogebra.org/
 
Debian GNU/Linux ユーザの場合は、Debian公式のリポジトリに登録されているので、APTを使ってのインストールも可能です。
ただし、現行のwheezyに登録されているバージョンは4になるため、5を利用したい場合は、GeoGebra本家から入手する必要があります。
 
ちなみに、OSにインストールするタイプの他に、ポータブルタイプ(USBメモリ等に保存して使うタイプ)もあります。(javaで動いている様ですね。納得。)
    
 003_r2_2
     
ポータブルタイプは起動速度は少し遅くなりますが、インストール作業が必要なく、USBメモリで持ち運べる等、いろいろなメリットがあります。
 
 
 
さて、GeoGebra紹介はこれくらいにして、簡単な使い方等をご紹介。
 
単純な平面図形に限れば、けっこう直感的に扱えると思うのですが、動点や空間図形となると全くの入門者にはすぐに扱うのは少しきついかなぁと思ったので。
  
以下、興味のある方は参考にどうぞ。つ旦~~
 
 ・GeoGebra のダウンロード先 2018年版 
 
〔GeoGebra4〕
 ・Debian GNU/Linux に GeoGebra をインストール(wheezy / GeoGebra4)
 ・GeoGebraで動点を作る!(GeoGebra4)
 
〔GeoGebra5〕 
 ・Linuxでポータブル版GeoGebra5を使う(Windowsのポータブル版の話も含む)
 
 ・GeoGebraで動的展開図(立方体)を作ってみる
  (1)三次元空間に点を打つ/点を移動させる
  (2)立方体を作る
  (3)立方体展開図を動かす 
 
 ・GeoGebra5 で回転体を作る!
   021
 
 ・GeoGebra5 で正多面体作成
   001_20_4
 
  
〔小技〕
 ・GeoGebra:図形作成時に辺や面の名前(ラベル)が自動で表示されないようにするには
 ・GeoGebra:動的に色を変化させる
 ・GeoGebra:点の移動がオブジェクト上に限定される話とその解除方法
 
 ・KDE4.8:KDEメニュー登録 / ファイルの関連付け(GeoGebra5)
   
 
  
  
【外部サイト】
 ・GeoGebra日本
   https://sites.google.com/site/geogebrajp/

  
 
 
 ○サイト目次(PC表示のみ)
 
 
  
 
 
 

GeoGebraで動的展開図(立方体)を作ってみる(1)三次元空間に点を打つ/点を移動させる

GeoGebraで図形を扱う上で、基本となるのが点を打ったり、移動させたりすること。
そもそもGeoGebra自体は直感的に扱えるので、平面図形ではそんなに困ることは無いと思いますが、空間図形では多少戸惑うかもしれません。三次元空間の表示ウィンドウの見方がよくわからなかったりと。

ということで、今回は三次元空間にて、点を扱ってみます。
ちなみに自己流なので、もしかしたらもっとベストなやり方があるかもしれません。

 

〔初期画面〕
003_5    
(wheezy KDE:Geogebra5)

初期状態はGeogebra4とそっくりですね。そっくりというか、中身もほぼ同じです。

さて、三次元空間で点を打つ前に、二次元空間で点が打てないとどうにもならないので、まずそこから確認します。
すでに平面図形での点の打ち方等がわかっている方は、ここは飛ばしてお読みください。

〔1:平面図形にて、点を打つ/点の移動〕
003_1
「点」のボタンをクリックしてから、「グラフィックスビュー」の枠内をクリックすれば、クリックしたところに点がどんどん打てます。

006

何も難しいことはありませんね。作った点を移動させたいときは、下図のように「移動」ボタンをクリックしてから、移動させたい点をドラッグすると良いです。

008_r3
   
削除については、「移動」ボタンをクリックしている状態で、削除したい「点」を選択した後、「Del」キーを打てば消せます。

ちなみに下図のように「点」や各種図形を取り扱うボタンが表示されていない場合があります。

004_r

そういった場合は、「グラフィックビュー」の枠内のどこでも良いので左クリックすると、「グラフィックビュー」関連のボタンが表示されます。

004_r2

 
 

ちなみにグリッド表示ですが、GeoGebra4とやり方が少々異なります。

「グラフィックビュー」の文字の左側に小さな三角形のボタンがあるので「移動」ボタンを押してある状態で、その小さな三角形をクリックします。
008_r2

左下図のように青枠の部分が出てきますので、赤丸の「グリッドを表示」をクリックするとよいです。

010_r
ちなみに、右上図のようにグラフィックビュー内での右クリックから「グリッドの表示」の選択でも行けます。

011
(グリッド表示の図)

  
  

〔2:三次元空間を表示する〕

下図のように「表示 > グラフィックスビュー3D」を選ぶと・・・
012_r

右側に三次元空間が表示されます。
013_r
ちと、狭いですね。
「表計算」を非表示にしましょう。

先ほどの「表示」メニューのところから、「表計算」を非表示にしても良いですし、下図の×ボタンをクリックしても非表示にできます。

013_r2

 

014

もっと広く表示したいのであれば、バーをドラッグして調整してください。

014_r

 

015

 

さて、見方についてですが、「グラフィックスビュー(平面)」と「グラフィックスビュー3D(空間)」の関係についてですが、「グラフィックスビュー(平面)」は「グラフィックスビュー3D(空間)」での「z=0」のxy平面になっています。

以後、「グラフィックスビュー(平面)」を「2Dビュー」、「グラフィックスビュー3D(空間)」を「3Dビュー」とします。

「2Dビュー」において、z座標の値の変更の仕方がよくわかりません。もしかしたら「z=0」は固定なのかもしれません。ちなみに「3Dビュー」の灰色になっている平面は「2Dビュー」の平面と一致しています。

 

前置きが長くなりましたね。これで準備完了です。
「3Dビュー(三次元空間)」に点を打ちましょう。

 
 

〔3:三次元空間に点を打つ/点の移動〕
三次元空間に点を打つのですから、マウスでクリックする場所は当然「3Dビュー」です。
平面の時と同じように、「点」ボタンをクリックしてから、点を打ちたいところをクリックすれば良いです・・・が、「3Dビュー」で点を打てる場所は、基本的に線や面などのオブジェクト上になります。何も無い場所にはいきなり点を打つことはできません。

022_r
(点D作成の図)

しかし、これでは困りますので、作った点Dをz軸方向に移動させます。

まず、「移動」ボタンを押してから、移動させたい点Dのところへカーソルを持って行きます。

023_r

すると、上図のように灰色の十字の矢印が出てきます。
この状態で、点Dをドラッグするとx軸、y軸方向へ移動ができます。

ドラッグでは無く、この状態で点Dを「左クリック」をすると、下図のように灰色の矢印がz軸方向に変わります。

024_r

この状態で点Dをドラッグすれば、z軸方向へ移動させることができます。

025_r
(ドラッグ中の図)

ちなみに座標値を手入力で修正したい場合は、数式ビューの点Dを「右クリック」して「プロパティ」を選択。

026_r

027_r

「値」のところが座標値になっているので、この値を変更すればOKです。
ちなみに上の画面になったときに、対象オブジェクトを再度選択しなおさらければならないことが多々あったりします。これには慣れが必要かも。

さて、マウス等を使っての三次元空間に点を打つ場合は上記の方法になりますが、式入力なら、以下のようにやる方法もあります。

028_r

画面左下の方に「入力」というボックスがありますので、そこに「点の名前=(x座標,y座標,z座標)」を入力して「Enter」キーを打つと、点が打てます。

029_

これはこれで楽ですね。
以上、「三次元空間に点を打つ/移動させる」でした。
 
それでは「(2)立方体を作る」に続きます。
 
 
〔目次:GeoGebraで動的展開図(立方体)を作ってみる〕
 (1)三次元空間に点を打つ/点を移動させる
 (2)立方体を作る
 (3)立方体展開図を動かす
 

〔親記事〕
 動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい!

 
 
 
 
 

GeoGebra5 で回転体を作る!

検索などから飛んできて、GeoGebraが何なのかよくわからない方は
動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい!
のページからどうぞ。

 

動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 では回転体の作成も可能です。

020

ということで、今回は回転体づくりです。
三角形を回転させて、円錐を作りましょう。

さて、下準備として次のものが必要です。

・スライダー(回転させるために必要)
・回転させるための図形
・回転軸(今回はz軸で代用します)

 

〔下準備その1:回転のためのスライダーを作成〕
まず、下図の「スライダー」をクリック後、「グラフィックスビュー」内のどこでも良いので左クリック。

002_r

下図のようなダイアログが出てきますので、「角度」「アニメーション」を選択します。
 
003_r
  
アニメーションタブを開くと、「反復」のところがデフォルトでは「振動」になっていると思います。別にこれでも構わないんですが、アニメーション化するなら、「振動」よりも「増加」か「減少」の方が見栄え的にいいです。

005_r_3

ということで、今回は「増加」を選択して、「適用」をクリック。

006_r_4

スライダーの完成です。

 
 
 

〔下準備その2:回転させるための図形を作成〕
今回は三角形を回転させます。
とりあえず、「3Dビュー」を表示させます。

007_r_4

上図の「グラフィックスビュー3D」を選択すると、下図のような状態になります。

008_2

今回は回転軸をz軸にする予定なので、頂点を次の3点とした三角形を作ることにしました。

A =(0,0,0)
B =(0,0,3)
C =(0,2,0)

009_r_4

空間図形における点の打ち方については『三次元空間に点を打つ/点を移動させる』を参照してください。

「多角形」ボタンをクリック後、A,B,Cの3点を結び、三角形ABCを作ります。

010_r_4

以上で三角形の作成は終わりです。
回転軸は今回は新たに作成しません。z軸を代用します。

ではこの三角形を回転させましょう。

 
 
 

〔三角形ABCをZ軸を中心にして回転させる〕

まず、下図の「直線のまわりに回転」をクリックします。

011_r_2

012_r_3

「回転するオブジェクトと直線を選択して、角度を入力」とありますね。
三角形ABCをクリック後、Z軸をクリックしましょう。

013_r_3

角度を入力するためのダイアログが出てきます。
ここではじめに作ったスライダーの名前を指定します。
今回は「α」でしたので、これを入力します。

014_r_3

以上で完成です。

015_2

スライダーを動かすと三角形が回転します。

 
 
 
 

〔おまけ:残像を残す〕
上図の状態だと、三角形はクルクル回りますが、見栄え的にはインパクトがありません。

ということで、残像を残しましょう。
回転している三角形を右クリック。「残像表示」をクリックします。

016_r_2

この状態でスライダーを動かすと残像が残ります。

017

アニメーション化したい場合は、スライダーを右クリックして、「アニメーション オン」をクリックしてください。勝手にグルグル回ります。

018_r

回転速度を変えたい場合は、スライダーのプロパティから変更が可能です。
また、残像のリセットは「ctrl + f」で可能です。

以上、「GeoGebra5 で回転体を作る」でした。
 
 
022
(トーラス:ドーナツ型)
  
023_3
(回転双曲面)
 
 
 
 
〔親記事〕
 ・動的幾何学ソフトウェア GeoGebra5 が素晴らしい!
 
 
〔関連ページ〕
 ・Linuxでポータブル版GeoGebra5を使う(Windowsのポータブル版の話も含む)
 ・GeoGebra5:三次元空間に点を打つ/点を移動させる 
 ・黄金比と正二十面体 
  

012__2

  
  
 
 
 
 
 
 
 
 

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